5 feb 2017
Dall'articolo RIFLESSIONI SULL'INFINITO:
http://lastellarossa.blogspot.com/2017/05/riflessioni-sullinfinito.html
L'intuizionismo di LUITZEN BROUWER, dal canto suo, si oppone al platonismo e anche all'esistenza completata di insiemi teorizzata da GEORG CANTOR, poichè nulla può avere un'esistenza reale di ciò che non può essere formulato costruttivamente dalla mente umana. Dunque gli insiemi concernenti qualsiasi categoria di oggetti, non possono avere un esistenza "in sè", cioè a prescindere dal lavoro mentale attuato per concepirli. Nella matematica ordinaria si giudica se un oggetto matematico può essere reale o meno mediante il fatto che susciti o meno risultati paradossali o assurdi; ora: gli intuizionisti rifiutano la realtà degli oggetti matematici a partire dal fatto che non possono essere costruiti a priori mentalmente: ma in questo modo viene escluso già da subito anche il presupposto che questa "costruzione" avvenga, e consiste in questo la debolezza della teoria intuizionista secondo il giudizio di PENROSE. Praticamente: gli intuizionisti concepiscono l'esistenza dell'ente matematico solo in base ad una precedente costruzione mentale di quest'ultimo. L'intuizionismo di BROWER rifiuta inoltre la LEGGE DEL TERZO ESCLUSO: il sistema per cui "la negazione della negazione di un'affermazione" consiste nella veridicità dell'affermazione; procedimento secondo il quale viene esclusa (terzo escluso) una terza possibile variante dell'affermazione. La LEGGE DEL TERZO ESCLUSO recita così:
"Se è falso che qualcosa non sia vero, allora quel qualcosa è sicuramente vero".
Il problema degli intuizionisti consiste proprio nella negazione di un fatto evidente come questo, perciò, secondo ROGER PENROSE, l'INTUIZIONISMO non può essere considerato una teoria valida.
In questo caso ne deriva l'enunciato che: se affermando che un tale oggetto non esiste ne scaturisce una contraddizione, non si conferma l'inesistenza di un tale oggetto, ma non si hanno le prove nemmeno della sua esistenza. Solo l'intuizione può ricavare l'esistenza o l'inesistenza di un oggetto se questo può essere costruito dal ragionamento umano; se non può essere costruito senza giungere a contraddizione, esso non esiste; se può essere costruito senza contraddizione, esso esiste. Per questo gli insiemi infiniti vengono negati dall'intuizionismo: perchè l'enormità della loro espansione porta al PARADOSSO DI RUSSELL e, portando ad un paradosso, non possono esistere perchè non costruibili, o fruibili, dalla mente umana. La TEORIA DEGLI INSIEMI di CANTOR esigeva il cosiddetto PRINCIPO DI ASTRAZIONE (assioma), secondo il quale tutti gli oggetti che hanno una caratteristica in comune (ad esempio uno specifico colore) possono essere considerati facenti parte di un insieme. A livello fisico, ad esempio, tutti gli universi le cui leggi fisiche sono simili, possono essere considerati interconnessi nell'ambito di un multiverso, perchè nell'infinito non esiste il più distante" o il "più vicino", ma tutto appartiene ed è correlato al suo simile. BERTRAND RUSSELL mise in crisi la TEORIA DEGLI INSIEMI di GEORG CANTOR, mediante la famosa antinomia:
"l'insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi appartiene a sé stesso se e solo se non appartiene a sé stesso".
Questo "paradosso" mise in crisi il LOGICISMO, ovvero il tentativo di racchiudere in formulazioni rigorosamente logiche i concetti matematici; crisi che venne risolta nel 1931 da KURT GODEL mediante il suo TEOREMA DI INCOMPLETEZZA, con il quale gli assiomi matematici vennero dichiarati inspiegabili e insolubili dalla logica e dalle formule, essendo la matematica un'entità infinita i cui assiomi generano altri assiomi indefinitamente.
Nel libro di PENROSE è inoltre esaminato il possibile caso che da qualche parte nella famosa sequenza infinita del P greco si possa realizzare una sequenza di dieci 7 consecutivi. Ovviamente, questa sequenza è teorizzata, ma non può essere dimostrata: si può solo "immaginare" che essa esista, in qualche punto, nell'ambito di una cifra infinita come il P greco. Questo esempio è citato spesso da BROWER nel tentativo di dimostrare la sua teoria. Ora, secondo il ragionamento matematico ordinario, questa sequenza di 7, finchè non viene dimostrata, "esiste e non esiste" allo stesso tempo, non viene negata a priori come implicherebbe la prassi del sistema intuizionista, che negherebbe l'esistenza di tale sequenza per il fatto stesso di non essere ancora dimostrata. Da ciò si può dedurre l'evidente "riduzionismo" della tesi intuizionista, poichè, negando l'esstenza di enti non ancora "costruiti" secondo una logica procedura dalla stessa mente, nega la stessa capacità immaginativa della mente. Dopo queste riflessioni si può considerare l'INTUITIVISMO di BROWER come una branca del COSTRUTTIVISMO: altra teoria affine.
Alessia Birri
P.S: questo è uno degli articoletti dove riassumo con le mie parole gli argomenti del libro di ROGER PENROSE (con le mie conseguenti considerazioni) "La mente nuova dell'imperatore". L'argomento trattato qui, nel libro si trova a pag.155-156-157-158-159-160.
FOTO: LUITZEL BROUWER (1881-1966)
"Se è falso che qualcosa non sia vero, allora quel qualcosa è sicuramente vero".
Il problema degli intuizionisti consiste proprio nella negazione di un fatto evidente come questo, perciò, secondo ROGER PENROSE, l'INTUIZIONISMO non può essere considerato una teoria valida.
In questo caso ne deriva l'enunciato che: se affermando che un tale oggetto non esiste ne scaturisce una contraddizione, non si conferma l'inesistenza di un tale oggetto, ma non si hanno le prove nemmeno della sua esistenza. Solo l'intuizione può ricavare l'esistenza o l'inesistenza di un oggetto se questo può essere costruito dal ragionamento umano; se non può essere costruito senza giungere a contraddizione, esso non esiste; se può essere costruito senza contraddizione, esso esiste. Per questo gli insiemi infiniti vengono negati dall'intuizionismo: perchè l'enormità della loro espansione porta al PARADOSSO DI RUSSELL e, portando ad un paradosso, non possono esistere perchè non costruibili, o fruibili, dalla mente umana. La TEORIA DEGLI INSIEMI di CANTOR esigeva il cosiddetto PRINCIPO DI ASTRAZIONE (assioma), secondo il quale tutti gli oggetti che hanno una caratteristica in comune (ad esempio uno specifico colore) possono essere considerati facenti parte di un insieme. A livello fisico, ad esempio, tutti gli universi le cui leggi fisiche sono simili, possono essere considerati interconnessi nell'ambito di un multiverso, perchè nell'infinito non esiste il più distante" o il "più vicino", ma tutto appartiene ed è correlato al suo simile. BERTRAND RUSSELL mise in crisi la TEORIA DEGLI INSIEMI di GEORG CANTOR, mediante la famosa antinomia:
"l'insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi appartiene a sé stesso se e solo se non appartiene a sé stesso".
Questo "paradosso" mise in crisi il LOGICISMO, ovvero il tentativo di racchiudere in formulazioni rigorosamente logiche i concetti matematici; crisi che venne risolta nel 1931 da KURT GODEL mediante il suo TEOREMA DI INCOMPLETEZZA, con il quale gli assiomi matematici vennero dichiarati inspiegabili e insolubili dalla logica e dalle formule, essendo la matematica un'entità infinita i cui assiomi generano altri assiomi indefinitamente.
Nel libro di PENROSE è inoltre esaminato il possibile caso che da qualche parte nella famosa sequenza infinita del P greco si possa realizzare una sequenza di dieci 7 consecutivi. Ovviamente, questa sequenza è teorizzata, ma non può essere dimostrata: si può solo "immaginare" che essa esista, in qualche punto, nell'ambito di una cifra infinita come il P greco. Questo esempio è citato spesso da BROWER nel tentativo di dimostrare la sua teoria. Ora, secondo il ragionamento matematico ordinario, questa sequenza di 7, finchè non viene dimostrata, "esiste e non esiste" allo stesso tempo, non viene negata a priori come implicherebbe la prassi del sistema intuizionista, che negherebbe l'esistenza di tale sequenza per il fatto stesso di non essere ancora dimostrata. Da ciò si può dedurre l'evidente "riduzionismo" della tesi intuizionista, poichè, negando l'esstenza di enti non ancora "costruiti" secondo una logica procedura dalla stessa mente, nega la stessa capacità immaginativa della mente. Dopo queste riflessioni si può considerare l'INTUITIVISMO di BROWER come una branca del COSTRUTTIVISMO: altra teoria affine.
Alessia Birri
P.S: questo è uno degli articoletti dove riassumo con le mie parole gli argomenti del libro di ROGER PENROSE (con le mie conseguenti considerazioni) "La mente nuova dell'imperatore". L'argomento trattato qui, nel libro si trova a pag.155-156-157-158-159-160.
FOTO: LUITZEL BROUWER (1881-1966)
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